Перевод статьи «Теория вычислимости и сложности» (Computability and Complexity Theory — translation into Russian)

Steven Homer and Alan L. Selman
Springer Verlag New York, 2011

This revised and expanded edition of Computability and Complexity Theory comprises essential materials that are the core knowledge in the theory of computation. The book is self-contained, with a preliminary chapter describing key mathematical concepts and notations and subsequent chapters moving from the qualitative aspects of classical computability theory to the quantitative aspects of complexity theory. Dedicated chapters on undecidability, NP-completeness, and relative computability round off the work, which focuses on the limitations of computability and the distinctions between feasible and intractable.

Substantial new content in this edition includes:

a chapter on nonuniformity studying Boolean circuits, advice classes and the important result of Karp-Lipton
definitions and properties of fundamental probabilistic complexity classes
a study of the alternating Turing machine and uniform circuit classes
an introduction to counting classes including the results of Valiant and Vazirani and of Toda
a thorough treatment of the proof that IP is identical to PSPACE

Topics and features:

Concise, focused materials cover the most fundamental concepts and results in the field of modern complexity theory, including the theory of NP-completeness, NP-hardness, the polynomial hierarchy, and complete problems for other complexity classes
Contains information that otherwise exists only in research literature and presents it in a unified, simplified manner; for example, about complements of complexity classes, search problems, and intermediate problems in NP
Provides key mathematical background information, including sections on logic and number theory and algebra
Supported by numerous exercises and supplementary problems for reinforcement and self-study purposes

With its accessibility and well-devised organization, this text/reference is an excellent resource and guide for those looking to develop a solid grounding in the theory of computing. Beginning graduates, advanced undergraduates, and professionals involved in theoretical computer science, complexity theory, and computability will find the book an essential and practical learning tool.

Table of Contents

PRELIMINARIES
Words and Languages
K-adic Representation
Partial Functions
Graphs
Propositional Logic
Cardinality
Elementary Algebra

INTRODUCTION TO COMPUTABILITY
Turing Machines
Turing-Machine Concepts
Variations of Turing Machines
Church’s Thesis
RAMs

UNDECIDABILITY
Decision Problems
Undecidable Problems
Pairing Functions
Computably Enumerable Sets
Halting Problem, Reductions, and Complete Sets
S-m-n Theorem
Recursion Theorem
Rice’s Theorem
Turing Reductions and Oracle Turing Machines
Recursion Theorem, Continued
References
Additional Homework Problems

INTRODUCTION TO COMPLEXITY THEORY
Complexity Classes and Complexity Measures
Prerequisites

BASIC RESULTS OF COMPLEXITY THEORY
Linear Compression and Speedup
Constructible Functions
Tape Reduction
Inclusion Relationships
Relations between the Standard Classes
Separation Results
Translation Techniques and Padding
Relations between the Standard Classes—Continued
Complements of Complexity Classes: The Immerman-Szelepcsenyi Theorem
Additional Homework Problems

NONDETERMINISM AND NP-COMPLETENESS
Characterizing NP
The Class P
Enumerations
NP-Completeness
The Cook-Levin Theorem
More NP-Complete Problems
Additional Homework Problems

RELATIVE COMPUTABILITY
NP-Hardness
Search Problems
The Structure of NP
Composite Number and Graph Isomorphism
Reflection
The Polynomial Hierarchy
Complete Problems for Other Complexity Classes
Additional Homework Problems

NONUNIFORM COMPLEXITY
Polynomial Size Families of Circuits
Advice Classes
The Low and High Hierarchies

PARALLELISM
Alternating Turing Machines
Uniform Families of Circuits
Highly Parallelizable Problems
Uniformity Conditions
Alternating Turing Machines

PROBABILISTIC COMPLEXITY CLASSES
The Class PP
The Class RP
The Class ZPP
The Class BPP
Randomly Chosen Hash Functions
Operators
The Graph Isomorphism Problem
Additional Homework Problems

INTRODUCTION TO COUNTING CLASSES
Unique Satisfiability
Toda’s Theorem
Results on BPP and $oplu$ P
Additional Homework Problems

INTERACTIVE PROOF SYSTEMS
The Formal Model
The Graph Non-Isomorphism Problem
Arthur-Merlin Games
IP is included in PSPACE
PSPACE Is Included in IP
Additional Homework Problems

Стивен Гомер и Алан Л. Селман
Springer Verlag, Нью-Йорк, 2011 г.

Это исправленное и расширенное издание Теории вычислимости и сложности заключает в себе важнейшие материалы, являющиеся базовыми знаниями в теории вычислений. Данная книга является самостоятельной и содержит вводную главу, в которой описываются ключевые математические понятия и обозначения, и последующие главы от качественных аспектов классической теории вычислимости до количественных аспектов теории сложности. Главы, посвященные неразрешимости, NP-полноте и относительной вычислимости, завершают работу, которая сосредоточена на ограничениях вычислимости и различиях между выполнимым и трудноразрешимым.

Данное издание содержит следующие важные новые материалы:

глава о неоднородности, в которой изучаются булевы схемы, классы советов и важный результат Карпа-Липтона
определения и свойства основных вероятностных классов сложности
исследование альтернирующей машины Тьюринга и классов однородных схем
введение в классы подсчета, включая результаты Валианта и Вазирани и Тоды
подробное рассмотрение доказательства того, что IP идентичен PSPACE

Темы и особенности:

Лаконичный, целенаправленный материал охватывает самые фундаментальные понятия и результаты в области современной теории сложности, включая теорию NP-полноты, NP-трудности, полиномиальную иерархию и полные задачи для других классов сложности
Содержит информацию, которая встречается только в исследовательской литературе, и представляет ее в единообразном, упрощенном виде; например, о дополнениях классов сложности, задачах поиска и промежуточных задачах в NP.
Предоставляет ключевую математическую справочную информацию, в том числе разделы о логике, теории чисел и алгебре
Дополнено многочисленными упражнениями и дополнительными задачами для целей закрепления и самостоятельного изучения

Учитывая его доступность и хорошо продуманную организацию, этот текст/справочная информация является отличным источником и руководством для тех, кто надеется заложить прочную основу в теории вычислений. Новоиспеченные выпускники, хорошо подготовленные студенты вузов и профессионалы, занимающиеся теоретической информатикой, теорией сложности и вычислимостью, сочтут книгу важнейшим инструментом практического обучения.

Содержание

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
Слова и языки
Представление К-кислоты
Частичные функции
Графы
Логика высказываний
Мощность
Элементарная алгебра

ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИМОСТЬ
Машины Тьюринга
Концепции машин Тьюринга
Варианты машины Тьюринга
Тезис Чёрча
Машины с произвольным доступом к памяти

НЕРАЗРЕШИМОСТЬ
Задачи разрешимости
Неразрешимые задачи
Функции сопряжения
Вычислимо счетные множества
Проблема остановки, редукции и полные множества
S-m-n-теорема
Теорема о рекурсии
Теорема Райса
Редукции Тьюринга и машины Тьюринга с оракулом
Теорема о рекурсии, продолжение
Список литературы
Дополнительные задачи для домашней работы

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СЛОЖНОСТИ
Классы сложности и меры сложности
Предварительные условия

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ СЛОЖНОСТИ
Линейное сжатие и ускорение
Конструктивные функции
Сокращение количества лент
Отношения включения
Отношения между стандартными классами
Результаты разделения
Методы преобразования и раздутие
Отношения между стандартными классами – продолжение
Дополнения классов сложности: теорема Иммермана–Селепчени
Дополнительные задачи для домашней работы

НЕДЕТЕРМИНИЗМ И NP-ПОЛНОТА
Описание NP
Класс P
Перечисления
NP-полнота
Теорема Кука – Левина
Еще NP-полные задачи
Дополнительные задачи для домашней работы

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВЫЧИСЛИМОСТЬ
NP-трудность
Задачи поиска
Структура NP
Составное число и изоморфизм графов
Отображение
Полиномиальная иерархия
Полные задачи для других классов сложности
Дополнительные задачи для домашней работы

НЕОДНОРОДНАЯ СЛОЖНОСТЬ
Семейства схем полиномиального размера
Классы советов
Низкие и высокие иерархии

ПАРАЛЛЕЛИЗМ
Альтернирующие машины Тьюринга
Семейства однородных схем
Высокопараллелизуемые задачи
Условия однородности
Альтернирующие машины Тьюринга

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ КЛАССЫ СЛОЖНОСТИ
Класс PP
Класс RP
Класс ZPP
Класс BPP
Случайно выбранные хеш-функции
Операторы
Задача распознавания изоморфизма графов
Дополнительные задачи для домашней работы

ВВЕДЕНИЕ В КЛАССЫ ПОДСЧЕТА
Уникальная выполнимость
Теорема Тоды
Результаты по BPP и $oplu$ P
Дополнительные задачи для домашней работы

СИСТЕМЫ ИНТЕРАКТИВНОГО ДОКАЗЫВАНИЯ
Формальная модель
Задача распознавания неизоморфизма графов
Игры Артура и Мерлина
IP включен в PSPACE
PSPACE включен в IP
Дополнительные задачи для домашней работы